Молодой учёный Олег Фея рассказал о том, что такое квантовый мистицизм и почему он так популярен. 0:30 - Как выглядит эксперимент с двумя…
Насколько сложно покорить квантовую природу вещества?
Мэтт Трушейм включает рубильник в темной лаборатории, и мощный зеленый лазер подсвечивает крошечный алмаз, удерживаемый на месте под объективом…
Toshiba выводит квантовое шифрование на рекордные дистанции
Исследователи из компании Toshiba придумали новый способ использования законов квантовой механики для отправки защищенных сообщений с…
Физики смогли квантово запутать облака атомов. Это вообще как?
Квантовый мир атомов и частиц причудлив и удивителен. На квантовом уровне частицы могут проникать через непроницаемые барьеры и быть в двух местах…
Новейшие рекорды квантовой телепортации
Предсказания квантовой механики иногда трудно соотнести с представлениями о классическом мире. В то время как положение и импульс классической…
Квантовые технологии появятся на британских улицах уже через два года
Вы слышали о квантовой механике, а теперь пора знакомиться с квантовыми инженерами. Спустя десятки лет пребывания в лаборатории, квантовая наука…
Как создаются щит и меч квантовой физики
«Афиша» пообщались с одним из ведущих специалистов Российского квантового центра и узнала, что происходит на переднем крае квантовой физики.… Когда сталкиваются параллельные миры, рождается квантовая механика
В параллельной вселенной никогда не падал астероид, уничтоживший динозавров, а Австралию никогда не колонизировали португальцы. Долгое время…
Есть много мест, с которых можно начать это обсуждение, и вот это так же хорошо, как другие: все в нашей Вселенной обладает одновременно природой частиц и волн. Если бы можно было сказать о магии так: «Все это волны, и только волны», это было бы замечательным поэтическим описанием квантовой физики. На самом деле все в этой вселенной обладает волновой природой.
Конечно, также все во Вселенной имеет природу частиц. Звучит странно, но это .
Описывать реальные объекты как частицы и волны одновременно будет несколько неточным. Собственно говоря, объекты, описываемые квантовой физикой, не являются частицами и волнами, а скорее принадлежат третьей категории, которая наследует свойства волн (частоту и длину волны, вместе с распространением в пространстве) и некоторые свойства частиц (их можно пересчитать и локализовать с определенной степенью). Это приводит к оживленным дебатам в физическом сообществе на тему того, будет ли вообще корректно говорить о свете как о частице; не потому, что есть противоречие в том, обладает ли свет природой частиц, а потому, что называть фотоны «частицами», а не «возбуждениями квантового поля» - значит, вводить студентов в заблуждение. Впрочем, это касается и того, можно ли называть электроны частицами, но такие споры останутся в кругах сугубо академических.
Эта «третья» природа квантовых объектов отражается в запутанном иногда языке физиков, которые обсуждают квантовые явления. Бозон Хиггса был обнаружен на Большом адронном коллайдере в качестве частицы, но вы наверняка слышали словосочетание «поле Хиггса», такой делокализованной вещи, которая заполняет все пространство. Это происходит, поскольку при определенных условиях вроде экспериментов со столкновением частиц более уместно обсуждать возбуждения поля Хиггса, нежели определять характеристики частицы, тогда как при других условиях вроде общих обсуждений того, почему у определенных частиц есть масса, более уместно обсуждать физику в терминах взаимодействия с квантовым полем вселенских масштабов. Это просто разные языки, описывающие одни и те же математические объекты.
Квантовая физика дискретна
Все в названии физики - слово «квантум» происходит от латинского «сколько» и отражает тот факт, что квантовые модели всегда включают что-то приходящее в дискретных величинах. Энергия, содержащаяся в квантовом поле, приходит в кратных величинах некой фундаментальной энергии. Для света это ассоциируется с частотой и длиной волны света - высокочастотный свет с короткой волной обладает огромной характерной энергией, тогда как низкочастотный свет с длинной волной обладает небольшой характерной энергией.
В обоих случаях между тем полная энергия, заключенная в отдельном световом поле, целочисленно кратна этой энергии - 1, 2, 14, 137 раз - и не встретить странных долей вроде полутора, «пи» или квадратному корню из двух. Это свойство также наблюдается в дискретных энергетических уровнях атомов, и энергетические зоны конкретны - некоторые величины энергий допускаются, остальные нет. Атомные часы работают благодаря дискретности квантовой физики, используя частоту света, связанного с переходом между двумя разрешенными состояниями в цезии, которая позволяет сохранить время на уровне, необходимом для осуществления «второго скачка».
Сверхточная спектроскопия также может быть использована для поиска вещей вроде темной материи и остается частью мотивации для работы института низкоэнергетической фундаментальной физики.
Это не всегда очевидно - даже некоторые вещи, которые квантовые в принципе, вроде излучения черного тела связаны с непрерывными распределениями. Но при ближайшем рассмотрении и при подключении глубокого математического аппарата квантовая теория становится еще более странной.
Квантовая физика является вероятностной
Одним из самых удивительных и (исторически, по крайней мере) противоречивых аспектов квантовой физики является то, что невозможно с уверенностью предсказать исход одного эксперимента с квантовой системой. Когда физики предсказывают исход определенного эксперимента, их предсказание носит форму вероятности нахождения каждого из конкретных возможных результатов, а сравнения между теорией и экспериментом всегда включают выведение распределения вероятностей из многих повторных экспериментов.
Математическое описание квантовой системы, как правило, принимает форму «волновой функции», представленной в уравнениях греческой буковой пси: Ψ. Ведется много дискуссий о том, что конкретно представляет собой волновая функция, и они разделили физиков на два лагеря: тех, кто видит в волновой функции реальную физическую вещь (онтические теоретики), и тех, кто считает, что волновая функция является исключительно выражением нашего знания (или его отсутствия) вне зависимости от лежащего ниже состояния отдельного квантового объекта (эпистемические теоретики).
В каждом классе основополагающей модели вероятность нахождения результата определяется не волновой функцией напрямую, а квадратом волновой функции (грубо говоря, все ей же; волновая функция - это сложный математический объект (а значит, включает воображаемые числа вроде квадратного корня или его отрицательного варианта), и операция получения вероятности немного сложнее, но «квадрата волновой функции» достаточно, чтобы понять основную суть идеи). Это известно как правило Борна в честь немецкого физика Макса Борна, впервые его вычислившего (в сноске к работе 1926 года) и удивившего многих людей уродливым его воплощением. Ведутся активные работы в попытках вывести правило Борна из более фундаментального принципа; но пока ни одна из них не была успешной, хотя и породила много интересного для науки.
Этот аспект теории также приводит нас к частицам, пребывающим в множестве состояний одновременно. Все, что мы можем предсказать, это вероятность, и до измерения с получением конкретного результата измеряемая система находится в промежуточном состоянии - состоянии суперпозиции, которое включает все возможные вероятности. А вот действительно ли система пребывает в множественных состояниях или находится в одном неизвестном - зависит от того, предпочитаете вы онтическую или эпистемическую модель. Обе они приводят нас к следующему пункту.
Квантовая физика нелокальна
Последний не был широко признан как таковой, в основном потому, что он ошибался. В работе 1935 года, вместе с его молодыми коллегами Борисом Подольким и Натаном Розеном (работа ЭПР), Эйнштейн привел четкое математическое заявление чего-то, что беспокоило его уже некоторое время, того, что мы называем «запутанностью».
Работа ЭПР утверждала, что квантовая физика признала существование систем, в которых измерения, сделанные в широко удаленных местах, могут коррелировать так, чтобы исход одного определял другое. Они утверждали, что это означает, что результаты измерений должны быть определены заранее, каким-либо общим фактором, поскольку в ином случае потребовалась бы передача результата одного измерения к месту проведения другого со скоростью, превышающей скорость света. Следовательно, квантовая физика должна быть неполной, быть приближением более глубокой теории (теории «скрытой локальной переменной», в которой результаты отдельных измерений не зависят от чего-то, что находится дальше от места проведения измерений, чем может покрыть сигнал, путешествующий со скоростью света (локально), а скорее определяется неким фактором, общим для обеих систем в запутанной паре (скрытая переменная).
Все это считалось непонятной сноской больше 30 лет, так как, казалось, не было никакого способа проверить это, но в середине 60-х годов ирландский физик Джон Белл более детально проработал последствия работы ЭПР. Белл показал, что вы можете найти обстоятельства, при которых квантовая механика предскажет корреляции между удаленными измерениями, которые будут сильнее любой возможной теории вроде предложенных Э, П и Р. Экспериментально это проверил в 70-х годах Джон Клозер и Ален Аспект в начале 80-х - они показали, что эти запутанные системы не могут быть потенциально объяснены никакой теорией локальной скрытой переменной.
Наиболее распространенный подход к пониманию этого результата заключается в предположении, что квантовая механика нелокальна: что результаты измерений, выполненных в определенном месте, могут зависеть от свойств удаленного объекта так, что это нельзя объяснить с использованием сигналов, движущихся на скорости света. Это, впрочем, не позволяет передавать информацию со сверхсветовой скоростью, хотя было проведено множество попыток обойти это ограничение с помощью квантовой нелокальности.
Квантовая физика (почти всегда) связана с очень малым
У квантовой физики есть репутация странной, поскольку ее предсказания кардинально отличаются от нашего повседневного опыта. Это происходит, поскольку ее эффекты проявляются тем меньше, чем больше объект - вы едва ли увидите волновое поведение частиц и того, как уменьшается длина волны с увеличением момента. Длина волны макроскопического объекта вроде идущей собаки настолько смехотворно мала, что если вы увеличите каждый атом в комнате до размеров Солнечной системы, длина волны пса будет размером с один атом в такой солнечной системе.
Это означает, что квантовые явления по большей части ограничены масштабами атомов и фундаментальных частиц, массы и ускорения которых достаточно малы, чтобы длина волны оставалась настолько малой, что ее нельзя было бы наблюдать прямо. Впрочем, прикладывается масса усилий, чтобы увеличить размер системы, демонстрирующей квантовые эффекты.
Квантовая физика - не магия
Предыдущий пункт весьма естественно подводит нас к этому: какой бы странной квантовая физика ни казалась, это явно не магия. То, что она постулирует, странное по меркам повседневной физики, но она строго ограничена хорошо понятными математическими правилами и принципами.
Поэтому если кто-то придет к вам с «квантовой» идеей, которая кажется невозможной, - бесконечная энергия, волшебная целительная сила, невозможные космические двигатели - это почти наверняка невозможно. Это не значит, что мы не можем использовать квантовую физику, чтобы делать невероятные вещи: мы постоянно пишем о невероятных прорывах с использованием квантовых явлений, и они уже порядком удивили человечество, это лишь означает, что мы не выйдем за границы законов термодинамики и здравого смысла.
Если вышеуказанных пунктов вам покажется мало, считайте это лишь полезной отправной точкой для дальнейшего обсуждения.
Никто в этом мире не понимает, что такое квантовая механика. Это, пожалуй, самое главное, что нужно знать о ней. Конечно, многие физики научились использовать законы и даже предсказывать явления, основанные на квантовых вычислениях. Но до сих пор неясно, почему наблюдатель эксперимента определяет поведение системы и заставляет ее принять одно из двух состояний.
Перед вами несколько примеров экспериментов с результатами, которые неизбежно будут меняться под влиянием наблюдателя. Они показывают, что квантовая механика практически имеет дело с вмешательством сознательной мысли в материальную реальность.
Сегодня существует множество интерпретаций квантовой механики , но Копенгагенская интерпретация, пожалуй, является самой известной. В 1920-х ее общие постулаты были сформулированы Нильсом Бором и Вернером Гейзенбергом.
В основу Копенгагенской интерпретации легла волновая функция. Это математическая функция, содержащая информацию о всех возможных состояниях квантовой системы, в которых она существует одновременно. Как утверждает Копенгагенская интерпретация, состояние системы и ее положение относительно других состояний может быть определено только путем наблюдения (волновая функция используется только для того, чтобы математически рассчитать вероятность нахождения системы в одном или другом состоянии).
Можно сказать, что после наблюдения квантовая система становится классической и немедленно прекращает свое существование в других состояниях, кроме того, в котором была замечена. Такой вывод нашел своих противников (вспомните знаменитое эйнштейновское «Бог не играет в кости»), но точность расчетов и предсказаний все же возымели свое.
Тем не менее число сторонников Копенгагенской интерпретации снижается, и главной причиной этого является таинственный мгновенный коллапс волновой функции в ходе эксперимента. Знаменитый мысленный эксперимент Эрвина Шредингера с бедным котиком должен продемонстрировать абсурдность этого явления. Давайте вспомним детали.
Внутри черного ящика сидит черный кот и вместе с ним флакон с ядом и механизм, который может высвободить яд случайным образом. Например, радиоактивный атом во время распада может разбить пузырек. Точное время распада атома неизвестно. Известен только период полураспада, в течение которого распад происходит с вероятностью 50%.
Очевидно, что для внешнего наблюдателя кот внутри коробки находится в двух состояниях: он либо жив, если все пошло хорошо, либо мертв, если распад произошел и флакон разбился. Оба этих состояния описываются волновой функцией кота, которая меняется с течением времени.
Чем больше времени прошло, тем больше вероятность того, что радиоактивный распад случился. Но как только мы открываем коробку, волновая функция коллапсирует, и мы сразу же видим результаты этого бесчеловечного эксперимента.
На самом деле, пока наблюдатель не откроет коробку, кот будет бесконечно балансировать между жизнью и смертью, или будет одновременно жив и мертв. Его судьба может быть определена только в результате действий наблюдателя. На этот абсурд и указал Шредингер.
Согласно опросу знаменитых физиков, проведенному The New York Times, эксперимент с дифракцией электронов является одним из самых удивительных исследований в истории науки. Какова его природа? Существует источник, который излучает пучок электронов на светочувствительный экран. И есть препятствие на пути этих электронов, медная пластина с двумя щелями.
Какую картинку можно ожидать на экране, если электроны обычно представляются нам небольшими заряженными шариками? Две полосы напротив прорезей в медной пластине. Но на самом деле на экране появляется куда более сложный узор из чередующихся белых и черных полос. Это связано с тем, что при прохождении через щель электроны начинают вести себя не только как частицы, но и как волны (так же ведут себя фотоны или другие легкие частицы, которые могут быть волной в то же время).
Эти волны взаимодействуют в пространстве, сталкиваясь и усиливая друг друга, и в результате сложный рисунок из чередующихся светлых и темных полос отображается на экране. В то же время результат этого эксперимента не изменяется, даже если электроны проходят один за одним — даже одна частица может быть волной и проходить одновременно через две щели. Этот постулат был одним из основных в Копенгагенской интерпретации квантовой механики, когда частицы могут одновременно демонстрировать свои «обычные» физические свойства и экзотические свойства как волна.
Но как насчет наблюдателя? Именно он делает эту запутанную историю еще более запутанной. Когда физики во время подобных экспериментов попытались определить с помощью инструментов, через какую щель фактически проходит электрон, картинка на экране резко изменилась и стала «классической»: с двумя освещенными секциями строго напротив щелей, безо всяких чередующихся полос.
Электроны, казалось, не хотят открывать свою волновую природу бдительному оку наблюдателей. Похоже на тайну, покрытую мраком. Но есть и более просто объяснение: наблюдение за системой не может осуществляться без физического влияния на нее. Это мы обсудим позже.
2. Подогретые фуллерены
Эксперименты по дифракции частиц проводились не только с электронами, но и другими, гораздо более крупными объектами. Например, использовались фуллерены, большие и закрытые молекулы, состоящие из нескольких десятков атомов углерода. Недавно группа ученых из Венского университета под руководством профессора Цайлингера пыталась включить элемент наблюдения в эти эксперименты. Чтобы сделать это, они облучали движущиеся молекулы фуллеренов лазерными лучами. Затем, нагретые внешним источником, молекулы начинали светиться и неизбежно отображать свое присутствие для наблюдателя.
Вместе с этим нововведением изменилось и поведение молекул. До начала такого всеобъемлющего наблюдения фуллерены довольно успешно избегали препятствия (проявляя волновые свойства), аналогично предыдущему примеру с электронами, попадающими на экран. Но с присутствием наблюдателя фуллерены стали вести себя как совершенно законопослушные физические частицы.
3. Охлаждающее измерение
Одним из самых известных законов в мире квантовой физики является принцип неопределенности Гейзенберга , согласно которому невозможно определить скорость и положение квантового объекта одновременно. Чем точнее мы измеряем импульс частицы, тем менее точно мы можем измерить ее позицию. Однако в нашем макроскопическом реальном мире обоснованность квантовых законов, действующих на крошечные частицы, обычно остается незамеченной.
Недавние эксперименты профессора Шваба из США вносят весьма ценный вклад в эту область. Квантовые эффекты в этих экспериментах были продемонстрированы не на уровне электронов или молекул фуллеренов (примерный диаметр которых составляет 1 нм), а на более крупных объектах, крошечной алюминиевой ленте. Эта лента была зафиксирована с обеих сторон так, чтобы ее середина находилась в подвешенном состоянии и могла вибрировать под внешним воздействием. Кроме того, рядом было помещено устройство, способное точно записывать положение ленты. В результате эксперимента обнаружилось несколько интересных вещей. Во-первых, любое измерение, связанное с положением объекта, и наблюдение за лентой влияло на нее, после каждого измерения положение ленты изменялось.
Экспериментаторы определили координаты ленты с высокой точностью, и таким образом, в соответствии с принципом Гейзенберга, изменили ее скорость, а значит и последующее положение. Во-вторых, что было довольно неожиданным, некоторые измерения привели к охлаждению ленты. Таким образом, наблюдатель может изменить физические характеристики объектов одним своим присутствием.
4. Замерзающие частицы
Как известно, нестабильные радиоактивные частицы распадаются не только в экспериментах с котами, но и сами по себе. Каждая частица имеет средний срок жизни, который, как выясняется, может увеличиться под бдительным оком наблюдателя. Этот квантовый эффект был предсказан еще в 60-х годах, а его блестящее экспериментальное доказательство появилось в статье, опубликованной группой под руководством нобелевского лауреата по физике Вольфганга Кеттерле из Массачусетского технологического института.
В этой работе изучался распад нестабильных возбужденных атомов рубидия. Сразу после подготовки системы атомы возбуждались с помощью лазерного луча. Наблюдение проходило в двух режимах: непрерывном (система постоянно подвергалась небольшим световым импульсам) и импульсном (система время от времени облучалась более мощными импульсами).
Полученные результаты полностью соответствовали теоретическим предсказаниям. Внешние световые эффекты замедляют распад частиц, возвращая их в исходное состояние, которое далеко от состояния распада. Величина этого эффекта также совпадала с прогнозами. Максимальный срок существования нестабильных возбужденных атомов рубидия увеличивался в 30 раз.
5. Квантовая механика и сознание
Электроны и фуллерены перестают показывать свои волновые свойства, алюминиевые пластинки остывают, а нестабильные частицы замедляют свой распад. Бдительное око наблюдателя буквально меняет мир. Почему это не может быть доказательством причастности наших умов к работе мира? Возможно, Карл Юнг и Вольфганг Паули (австрийский физик, лауреат Нобелевской премии, пионер квантовой механики) были правы, в конце концов, когда заявили, что законы физики и сознания следует рассматривать как дополняющие одно другое?
Мы находимся в одном шаге от признания того, что мир вокруг нас — просто иллюзорный продукт нашего разума . Идея страшная и заманчивая. Давайте попробуем снова обратиться к физикам. Особенно в последние годы, когда все меньше и меньше людей верят Копенгагенской интерпретации квантовой механики с ее загадочными коллапсами волновой функции, обращаясь к более приземленной и надежной декогеренции.
Дело в том, что во всех этих экспериментах с наблюдениями экспериментаторы неизбежно влияли на систему. Они зажигали ее с помощью лазера и устанавливали измерительные приборы. Их объединял важный принцип: вы не можете наблюдать за системой или измерять ее свойства, не взаимодействуя с ней. Любое взаимодействие есть процесс модификации свойств. Особенно когда крошечная квантовая система подвергается воздействию колоссальных квантовых объектов. Некий вечно нейтральный буддист-наблюдатель невозможен в принципе. И здесь в игру вступает термин «декогеренция», который является необратимым с точки зрения термодинамики: квантовые свойства системы меняются при взаимодействии с другой крупной системой.
Во время этого взаимодействия квантовая система теряет свои первоначальные свойства и становится классической, словно «подчиняясь» крупной системе. Это объясняет и парадокс кота Шредингера: кот — это слишком большая система, поэтому ее нельзя изолировать от остального мира. Сама конструкция этого мысленного эксперимента не совсем корректна.
В любом случае, если допустить реальность акта творения сознанием, декогеренция представляется гораздо более удобным подходом. Возможно, даже слишком удобным. При таком подходе весь классический мир становится одним большим следствием декогеренции. И как заявил автор одной из самых известных книг в этой области, такой подход логически приводит к заявлениям типа «в мире нет частиц» или «нет времени на фундаментальном уровне».
В чем правда: в создателе-наблюдателе или мощной декогеренции? Нам нужно выбрать между двух зол. Тем не менее ученые все больше убеждаются в том, что квантовые эффекты — проявление наших психических процессов. И то, где заканчивается наблюдение и начинается реальность, зависит от каждого из нас.
М. Г. Иванов
Как понимать квантовую механику
Москва Ижевск
УДК 530.145.6 ББК 22.314
Иванов М. Г.
Как понимать квантовую механику. - М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012. - 516 с.
Данная книга посвящена обсуждению вопросов, которые, с точки зрения автора, способствуют пониманию квантовой механики и выработке квантовой интуиции. Цель книги - не просто дать сводку основных формул, но и научить читателя понимать, что эти формулы означают. Особое внимание уделено обсуждению места квантовой механики в современной научной картине мира, ее¨ смыслу (физическому, математическому, философскому) и интерпретациям.
Книга полностью включает материал первого семестра стандартного годового курса квантовой механики и может быть использована студентами, как введение в предмет. Для начинающего читателя должны быть полезны обсуждения физического и математического смысла вводимых понятий, однако многие тонкости теории и ее¨ интерпретаций могут оказаться излишними и даже запутывающими, а потому должны быть опущены при первом чтении.
ISBN 978-5-93972-944-4 |
c М. Г. Иванов, 2012
c НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012
1. Благодарности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
2. О распространении данной книги. . . . . . . . . . . . . . . .xviii
1.1.2. Как устроены взаимодействия. . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Статистическая физика и квантовая теория. . . . . . . 5
1.1.4. Фундаментальные фермионы. . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.8. Поле Хиггса и бозон Хиггса (*) . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.9. Вакуум (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2. Откуда пошла квантовая теория. . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Квантовая механика и сложные системы. . . . . . . . . . . . 21
1.3.1. Феноменология и квантовая теория. . . . . . . . . . . 21
2.3.1. Когда наблюдатель отвернулся. . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2. На наших глазах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Принцип соответствия (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5. Несколько слов о классической механике (ф) . . . . . . . . . . 34
2.5.1. Вероятностная природа классической механики (ф) . . 35
О ГЛАВЛЕНИЕ |
2.5.2. Ересь аналитического детерминизма и теория возмущений (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Теоретическая механика классическая и квантовая (ф) . . . . |
|||
Несколько слов об оптике (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|||
Механика и оптика геометрическая и волновая (ф) . . |
|||
2.7.2. Комплексная амплитуда в оптике и число фотонов (ф*) |
|||
Преобразование Фурье и соотношения неопределен¨- |
|||
2.7.4. Микроскоп Гайзенберга и соотношение неопределен¨- |
|||
ностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|||
Г ЛАВА 3. Понятийные основы квантовой теории . . . . . . . . . 47
3.1. Вероятности и амплитуды вероятности. . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1. Сложение вероятностей и амплитуд. . . . . . . . . . . 49
3.1.2. Умножение вероятностей и амплитуд. . . . . . . . . . 51
3.1.3. Объединение независимых подсистем. . . . . . . . . . 51
3.1.4. Распределения вероятностей и волновые функции при измерении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.5. Амплитуда при измерении и скалярное произведение. 56
3.2. Возможно все,¨ что может произойти (ф*) . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1. Большое в малом (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Г ЛАВА 4. Математические понятия квантовой теории . . . . . . 66 4.1. Пространство волновых функций. . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.1. Функцией каких переменных является волновая функция? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.2. Волновая функция как вектор состояния. . . . . . . . 69
4.2. Матрицы (л) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3. Дираковские обозначения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1. Основные «строительные блоки» дираковских обозначений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2. Комбинации основных блоков и их значение. . . . . . 77
4.3.3. Эрмитово сопряжение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4. Умножение справа, слева, . . . сверху, снизу и наискосок** . . 80
4.4.1. Диаграммные обозначения* . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.2. Тензорные обозначения в квантовой механике* . . . . 82
4.4.3. Дираковские обозначения для сложных систем* . . . . 83
4.4.4. Сравнение разных обозначений* . . . . . . . . . . . . . 84
4.5. Смысл скалярного произведения. . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.1. Нормировка волновых функций на единицу. . . . . . 86
О ГЛАВЛЕНИЕ |
4.5.2. Физический смысл скалярного квадрата. Нормировка на вероятность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5.3. Физический смысл скалярного произведения. . . . . . 89
4.6. Базисы в пространстве состояний. . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.6.1. Разложение по базису в пространстве состояний, нор-
мировка базисных векторов. . . . . . . . . . . . . . . |
||
Природа состояний непрерывного спектра* . . . . . . |
||
Замена базиса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4.7. Операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7.1. Ядро оператора* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7.2. Матричный элемент оператора. . . . . . . . . . . . . . 100
4.7.3. Базис собственных состояний. . . . . . . . . . . . . . 101
4.7.4. Векторы и их компоненты** . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.7.5. Среднее от оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7.6. Разложение оператора по базису. . . . . . . . . . . . . 103
4.7.7. Области определения операторов в бесконечномерии* 104
4.7.8. След оператора* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8.2. Матрица плотности для подсистемы* . . . . . . . . . . 111
4.9. Наблюдаемые* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.9.1. Квантовые наблюдаемые* . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.9.2. Классические наблюдаемые** . . . . . . . . . . . . . . 115
4.9.3. Вещественность наблюдаемых*** . . . . . . . . . . . . 116
4.10. Операторы координаты и импульса. . . . . . . . . . . . . . . 119
4.11. Вариационный принцип. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.11.1. Вариационный принцип и уравнения Шредингера**¨ . 121
4.11.2. Вариационный принцип и основное состояние. . . . . 123
4.11.3. Вариационный принцип и возбужденные¨ состояния* . 124
Г ЛАВА 5. Принципы квантовой механики . . |
||
5.1. Квантовая механика замкнутой системы |
5.1.1. Унитарная эволюция и сохранение вероятности. . . . 125
5.1.2. Унитарная эволюция матрицы плотности* . . . . . . . 128
5.1.3. (Не)унитарная эволюция***** . . . . . . . . . . . . . . 128
5.1.4. Уравнение Шредингера¨ и гамильтониан. . . . . . . . . 130
5.2.4. Функции от операторов в разных представлениях. . . 136
5.2.5. Гамильтониан в представлении Гайзенберга. . . . . . 137
5.2.6. Уравнение Гайзенберга. . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2.7. Скобка Пуассона и коммутатор* . . . . . . . . . . . . . 141
5.2.8. Чистые и смешанные состояния в теоретической механике* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2.9. Представления Гамильтона и Лиувилля в теоретичес-
кой механике** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|||
5.2.10. Уравнения в представлении взаимодействия* . . . . |
|||
5.3. Измерение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|||
Проекционный постулат. . . . . . . . . . . . . . . . |
|||
Селективное и неселективное измерение* . . . . . . |
|||
Приготовление состояния. . . . . . . . . . . . . . . . |
|||
Г ЛАВА 6. Одномерные квантовые системы . . . . . . . . . . . . |
|||
6.1. Структура спектра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1.1. Откуда берется¨ спектр? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1.2. Вещественность собственных функций. . . . . . . . . 158
6.1.3. Структура спектра и асимптотика потенциала. . . . . 158
6.2. Осцилляторная теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2.3. Вронскиан (л*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.2.4. Рост числа нулей с номером уровня* . . . . . . . . . . 173
6.3.1. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3.2. Пример: рассеяние на ступеньке. . . . . . . . . . . . . 178
7.1.2. Смысл вероятностного пространства* . . . . . . . . . . 195
7.1.3. Усреднение (интегрирование) по мере* . . . . . . . . . 196
7.1.4. Вероятностные пространства в квантовой механике (ф*)196
7.2. Соотношения неопределенностей¨ . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2.1. Соотношения неопределенностей¨ и (анти)коммутаторы 197
7.2.2. Так что же мы посчитали? (ф) . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2.3. Когерентные состояния. . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.2.4. Соотношения неопределенности¨ время-энергия. . . . 202
7.3. Измерение без взаимодействия* . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.3.1. Эксперимент Пенроуза с бомбами (ф*) . . . . . . . . . 209
7.4. Квантовый эффект Зенона (парадокс незакипающего чайни-
7.5. Квантовая (не)локальность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.1. Запутанные состояния (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.5.2. Зацепленные состояния при селективном измерении (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.5.3. Зацепленные состояния при неселективном измере-
7.5.5. Относительные состояния (ф*) . . . . . . . . . . . . . . 224
7.5.6. Неравенство Белла и его нарушение (ф**) . . . . . . . 226
7.6. Теорема о невозможности клонирования квантового состояния** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.6.1. Смысл невозможности клонирования (ф*) . . . . . . . 235
8.1. Структура квантовой теории (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.1.1. Понятие классического селективного измерения (ф) . . 243
8.1.2. Квантовая теория крупными блоками. . . . . . . . . . 244
8.1.3. Квантовая локальность (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.1.4. Вопросы о самосогласованности квантовой теории (ф) 245
8.2. Моделирование измерительного прибора* . . . . . . . . . . . 246
8.2.1. Измерительный прибор по фон Нейману** . . . . . . . 246
8.3. Возможна ли иная теория измерений? (фф) . . . . . . . . . . . 250
8.3.2. «Жесткость»¨ формулы для вероятностей (фф) . . . . . 253
8.3.3. Теорема о квантовой телепатии (фф*) . . . . . . . . . . 254
8.3.4. «Мягкость» проекционного постулата (фф) . . . . . . . 256
8.4. Декогеренция (фф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Г ЛАВА 9. На грани физики и философии (фф*) . . . . . . . . . . 259
9.1. Загадки и парадоксы квантовой механики (ф*) . . . . . . . . . 259
9.1.1. Мышь Эйнштейна (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.1.2. Кот Шредингера¨ (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.1.3. Друг Вигнера (ф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.2. Как неправильно понимать квантовую механику? (фф) . . . . 267
9.3.2. Копенгагенская интерпретация. Разумное самоограничение (ф) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.3.3. Квантовые теории со скрытыми параметрами (фф) . . 278
9.3.6. «Абстрактное Я» фон Неймана (фф) . . . . . . . . . . . 284
9.3.7. Многомировая интерпретация Эверетта (фф) . . . . . . 285
9.3.8. Сознание и квантовая теория (фф) . . . . . . . . . . . . 289
9.3.9. Активное сознание (фф*) . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
ГЛАВА 10. Квантовая информатика** . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.1. Квантовая криптография** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
10.4. Понятие универсального квантового компьютера. . . . . . . 298
10.5. Квантовый параллелизм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.6. Логика и вычисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
О ГЛАВЛЕНИЕ |
10.6.3. Обратимые классические вычисления. . . . . . . . . . 302
10.6.4. Обратимые вычисления. . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.6.5. Вентили сугубо квантовые. . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.6.6. Обратимость и уборка «мусора» . . . . . . . . . . . . . 304
ГЛАВА 11. Симметрии-1 (теорема Нетер)¨ . . . . . . . . . . . . . . 306 11.1. Что такое симметрия в квантовой механике. . . . . . . . . . 306 11.2. Преобразования операторов «вместе» и «вместо» . . . . . . . 308
11.2.1. Непрерывные преобразования операторов и коммутаторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.3. Непрерывные симметрии и законы сохранения. . . . . . . . 309
11.3.1. Сохранение единичного оператора. . . . . . . . . . . . 311
11.3.2. Обобщенный¨ импульс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
11.3.3. Импульс как обобщенная¨ координата* . . . . . . . . . 314
11.4. Законы сохранения для ранее дискретных симметрий. . . . . 316
11.4.1. Зеркальная симметрия и не только. . . . . . . . . . . . 317
11.4.2. Четность*¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.4.3. Квазиимпульс* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
11.5. Сдвиги в фазовом пространстве** . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11.5.1. Групповой коммутатор сдвигов* . . . . . . . . . . . . . 322
11.5.2. Классические и квантовые наблюдаемые** . . . . . . . 324
11.5.3. Кривизна фазового пространства**** . . . . . . . . . . 326
ГЛАВА 12. Гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . 328
12.2.1. Лестничные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
12.2.2. Базис собственных функций. . . . . . . . . . . . . . . 335
12.3. Переход к координатному представлению. . . . . . . . . . . 337
12.4. Пример расчетов¨ в представлении чисел заполнения* . . . . . 342
12.5. Симметрии гармонического осциллятора. . . . . . . . . . . . 343
12.5.1. Зеркальная симметрия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.5.2. Фурье-симметрия и переход от координатного пред-
О ГЛАВЛЕНИЕ |
12.7.2. Когерентные состояния в представлении чисел заполнения** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
12.8. Разложение по когерентным состояниям** . . . . . . . . . . . 353
12.9. Сжатые состояния** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
13.1. Волны де Бройля. Фазовая и групповая скорость. . . . . . . 363 13.2. Что такое функция от операторов? . . . . . . . . . . . . . . . . 365 13.2.1. Степенные ряды и полиномы коммутирующих аргу-
ментов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
13.2.2. Функции одновременно диагонализуемых операторов. 366
13.2.3. Функции некоммутирующих аргументов. . . . . . . . 367
13.2.4. Производная по операторному аргументу. . . . . . . . 368
13.5. Квазиклассическое приближение. . . . . . . . . . . . . . . . . 375
13.5.1. Как угадать и запомнить квазиклассическую волновую функцию. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
13.5.2. Как вывести квазиклассическую волновую функцию. 377
13.5.3. Квазиклассическая волновая функция у точки поворота 379
13.5.4. Квазиклассическое квантование. . . . . . . . . . . . . 383
13.5.5. Спектральная плотность квазиклассического спектра. 384
13.5.6. Квазистационарные состояния в квазиклассике. . . . 386